Legge di Born

La legge di Born, detta anche regola di Born, formulata nel 1926 dal fisico tedesco Max Born, è una legge fisica della meccanica quantistica che restituisce il valore della probabilità che una misurazione su un sistema quantistico produrrà un dato risultato.^[1] Nella sua forma più semplice afferma che la densità di probabilità di trovare la particella in un dato punto è proporzionale al quadrato della grandezza della funzione d'onda della particella in quel punto. La legge di Born è uno dei principi chiave della meccanica quantistica.

La legge di Born afferma che se un osservabile corrisponde a un operatore autoaggiunto ${\displaystyle A}$ con spettro discreto, esso viene misurato in un sistema con una funzione d'onda normalizzata, indicata con la notazione bra-ket con ${\displaystyle |\psi \rangle }$. Pertanto il risultato misurato sarà uno degli autovalori ${\displaystyle \lambda }$ di ${\displaystyle A}$ e la probabilità di misurare un dato autovalore ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sarà uguale ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$, dove ${\displaystyle P_{i}}$ è la proiezione sull'autospazio di ${\displaystyle A}$ corrisponde a ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Nel caso in cui l'autospazio di ${\displaystyle A}$ corrisponda a ${\displaystyle \lambda _{i}}$, esso sarà monodimensionale e verrà rappresentato dall'autovettore normalizzato ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$, ${\displaystyle P_{i}}$ è pari a ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$, quindi la probabilità ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ è uguale a ${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$. Poiché il numero complesso ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ è detto ampiezza di probabilità che il vettore di stato ${\displaystyle |\psi \rangle }$ assegna all'autovettore ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$. Spesso si descrive il significato della legge di Born affermando che la probabilità è uguale al quadrato del valore assoluto, più precisamente, come il prodotto con il suo complesso coniugato, dell'ampiezza della funzione d'onda. Equivalentemente, la probabilità può essere scritta come ${\displaystyle |\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}}$.

Nell'eventualità in cui lo spettro di ${\displaystyle A}$ non sia completamente discreto, il teorema spettrale dimostra l'esistenza di una certa misura a valori di proiettore ${\displaystyle Q}$, cioè la misura spettrale di ${\displaystyle A}$. In questo caso, la probabilità che il risultato di una misura risieda in un insieme misurabile ${\displaystyle M}$ sarà data da ${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$.

Data una funzione d'onda ${\displaystyle \psi }$ per una singola particella priva di struttura nello spazio delle configurazioni, ciò si riduce ad affermare che la funzione di densità di probabilità ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$per la misura della posizione nell'istante ${\displaystyle t_{0}}$sarà data da

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=|\psi (\mathbf {r} ,t_{0})|^{2}}$